Нормальное распределение случайной величины встречается при исследовании большинства биологических параметров. Математические основы их анализа базируются на исследованиях Ляпунова и Гаусса [1].

Исходя из теоремы А.М.Ляпунова, если случайная величина является суммой большого числа независимых слагаемых, то она с достаточной степенью точности будет распределяться по нормальному закону.

Пример. 2.4. Используя электронную таблицу пакета EXCEL, в составе которой имеется функция - генератор случайных чисел, можно достаточно легко представить реализацию данной теоремы. Для воспроизведения этого модельного эксперимента проведем анализ согласно следующего алгоритма.

Воспользуемся генератором случайных чисел для получения данных анализируемого ряда.  Функция "Randbetween (x0;y1)" дает нам целую случайную величину в интервале от x до y. Например, при выполнении функции "Randbetween (0;1)" дает значение в результате "0" или "1" с вероятностью 50%.Как было сказано ранее, случайная величина, являющаяся суммой большого числа событий, распределяется по нормальному закону.

Проведем проверку этого утверждения.Для этого в ячейку А1 вставим следующую функцию: "=Randbetween(0;1)+Randbetween(0;1)+Randbetween(0;1)+Randbetween(0;1)+Randbetween(0;1)+Randbetween(0;1)+Randbetween(0;1)+Randbetween(0;1)+Randbetween(0;1)+Randbetween(0;1)". Выполнение этой функции эквивалентно сумме десяти простых событий, в каждом из которых равновероятно появление "0" или "1". Выделим ячейку, заполним этой формулой каждую ячейку в интервале от А1 до А100 и получится ряд из 100 случайных чисел.По имеющимся данным проведем анализ и построим гистограмму распределения (рис. 2.5.)

Рис. 2.5. Распределение случайной величины, состоящей из суммы простых случайных величин.

Как видно из рисунка 2.5 случайная величина, полученная в ходе этого моделирования имеет близкое к нормальному распределение. При увеличении числа случайных величин, входящих в состав график будет сглаживаться, пока окончательно не примет форму кривой нормального распределения.

Таким образом, сумма простых случайных величин независимых друг от друга дает случайную величину с нормальным распределением. В связи с тем, что распределение случайной величины, представленной на рисунке 2.5, является дискретным, для графического представления плотности нормального распределения используется уравнение Гаусса:               (2.4) где  - математическое ожидание (в данном разделе обозначение его несколько отличается, так как математическое ожидание есть оценка средней генеральной совокупности), d - среднеквадратичное отклонение (данный показатель равен квадратному корню из дисперсии, расчет и математический смысл которой разбирался в предыдущем разделе), p - константа (число Пи, равное 3,14..), e – константа (основание натуральных логарифмов, равное 2,71..).          Величина  представляет собой отклонение от средней, выраженное в d и называется нормированным отклонением (обозначим его t). Если принять d=1 и подставить в уравнение (2.4), то получим упрощенную формулу кривой: